Геометрія. 9 клас . Вектори на площині.

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Версія від 11:03, 16 грудня 2011, створена Zhmurko ym (обговореннявнесок)
(різн.) ← Попередня версія • Поточна версія (різн.) • Новіша версія → (різн.)
Перейти до: навігація, пошук

Вектор. Модуль і напрям вектора. Рівність векторів.

Вектором називається напрямлений відрізок. Вектор - це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. Під направленим відрізком розуміють впорядковану пару точок, перша з яких - точка A - називається його початком, а друга - B - його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).

Вектори позначають двома способами:

   малими буквами латинського алфавіту (наприклад, vect(a));
   двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, ), де перша буква - початок вектора, а друга - кінець.

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини vect(AB).

Примітка. Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.

Чисельне значення вектора називається модулем чи довжиною і позначається |vect(a)|. Довжина вектора - це довжина відрізка, що зображає цей вектор.

Колінеарні вектори

Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.

Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.

Одиничний вектор (орт) - вектор, довжина якого рівна одиниці. Вектори vect(AB) і називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі і .

Вектори vect(AB) і називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі і .

Додавання векторів

Геометрично суму двох векторів можна знайти за:

   правилом трикутника;
   правилом паралелограма.

Правило трикутника

Для складання двох векторів vect(a) і за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.

Правило паралелограма Для складання двох векторів vect(a) і vect(b) за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.

Віднімання векторів

Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо

Множення вектора на число

Добутком a на число k називають вектор, який має довжину k*a і співнапрямлений з a , якщо k > 0 та протилежний до нього, якщо k < 0.

Як видною, при множенні вектора на число, одержуємо колінеарні вектори.

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів називають число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.