Перегляд вихідного коду сторінки Алгебра. 7 клас. Лінійні рівняння з однією змінною

Алгебра 7 клас «Лінійні рівняння з однією змінною»



== Рівняння і його корені ==


Рівняння -  це рівність, що містить змінну. Корінь рівняння - число, яке задовольняє рівняння. Розвязати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожний розв'язок одного є розв'язком другого і навпаки.

Рівняння, які не мають коренів, теж вважаються рівносильними.

Розв’язати рівняння 3(х-1)+6=15.

3х-3+6=15; Розкриємо дужки. 3х=15+3-6; Перенесемо доданки і змінимо їхні знаки на 3х=12; протилежні, зведемо подібні доданки. х=4. Поділимо обидві частини рівняння на 3.

Відповідь: 4.

==  Лінійне рівняння з однією змінною ==


Рівняння вигляду а''х'' = b, де а і b — дані числа, ''х'' — змінна, називається лінійним рівнянням.

Наприклад, 2''х'' = - 5. Числа а і b називаються коефіцієнтами рівняння. Якщо а ≠0, то рівняння ах = b називається рівнянням першого степеня з однією змінною. Його корінь х = b/a. Лінійне рівняння може мати один корінь, безліч коренів або взагалі не мати коренів.

Наприклад, рівняння 0''х'' =7 не має коренів, рівняння 0x=0 має безліч коренів, рівняння 5''х'' = 0 має один корінь.

== Рівняння як математична модель задачі ==


Для того щоб скласти математичну модель задачі, потрібно спочатку вибрати основне невідоме, а потім, поетапно аналізуючи умову задачі, скласти відповідні рівняння. Само по собі рівняння, складене за умовою задачі, не є повною математичною моделлю реальної ситуації, відображеної в умові. Воно не враховує фізичних властивостей предметів і явищ, про які йдеться в задачі, реальних співвідношень між допустимими значеннями відповідних фізичних величин. Тому розв'язки рівняння можуть не відповідати дійсності, і треба обов'язково перевірити, чи задовольняють корені рівняння умову задачі, чи враховують змістові обмеження для зна¬чень величин, що розглядаються.

Отже, відповідь, яку дістали за складеним рівнянням, необхідно перевірити за змістом задачі. 

Чи задовольняє знайдений розв'язок саме умову, а не рівняння, складене за умовою задачі, адже можна неправильно скласти рівняння, а розв'язати його правильно.

Корисно з метою перевірки скласти й розв'язати задачу, в якій шукане число беруть за дане, а одне з даних — за шукане.

Схема розв’язування задач :

1) вибирають деяку невідому величину і позначають її буквою (наприклад, ''x'') ;

2) інші невідомі величини (якщо вони є) виражають через введену букву;

3) за умовою задачі встановлюють відношення між невідомими та відомими значеннями величин і складають рівняння;

4) розв’язують складене рівняння;

5) знаходять значення невідомого, а якщо треба за умовою задачі, то й значення інших невідомих величин;

6) відповідають на запитання задачі.

== Квадратні рівняння. ==


Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax2+bx+c=0, де x - змінна, а a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 . 

Якщо коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним (неповне квадратне рівняння - pure quadratic). Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 

1) a''x''2=0; 2) a''x''2=b''x''=0; 3) a''x''2+c=0.

Рівняння ax2=0 має один корінь x=0. Рівняння виду ax2=bx=0 рівносильне рівнянню x(ax+b)=0 і завжди має два корені: x=0 i x=-b/a. Квадратне рівняння виду ax2+c=0 рівносильне рівнянню x2=-c/a.

Приклад: Знайти корені рівняння 2x2-18=0. Розв'язання 2''x''2-18=0; 2''x''2=18; ''x''2=9; '''x'''12=±3 ''x''1=3, ''x''2=-3; Відповідь: ''x''1=3, ''x''2=-3.

Дискримінантом (дискримінант - discriminant) рівняння ax2+bx+c=0 називають вираз D=b2-4ac. 

Якщо D>0 рівняння a''x''2+b''x''+c=0 має два розв'язки, які знаходяться за формулами

Якщо D=0 рівняння a''x''2+b''x''+c=0 має один розв'язок, який знаходиться за формулою

Якщо D<0 рівняння ax2+bx+c=0 не має жодного розв'язку.

Приклад: Знайти корені рівняння ''x''2+4''x''-21=0.

Розв'язання

D=42-4•1•(-21)=16+84=100>0. ''x''1=3, ''x''2=-7. Відповідь: ''x''1=3, ''x''2=-7.

== Теорема Вієта ==


Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного тричлена ''x''2 + p''x'' + q = 0 дорівнює його другому коефіцієнту p з протилежним знаком, а твір - вільному члену q, тобто'' x''1 + ''x''2 = - p і ''x''1'' x''2 = q

Теорема Вієта чудова тим, що, не знаючи коренів квадратного тричлена, ми легко можемо обчислити їх суму й добуток, тобто найпростіші симетричні вираження ''x''1 + ''x''2 і ''x''1 ''x''2. Так, ще не знаючи, як обчислити корені рівняння ''x''2 - ''x'' - 1 = 0, ми, тим не менше, можемо сказати, що їх сума повинна дорівнювати 1, а добуток має дорівнювати -1. Теорема Вієта дозволяє вгадувати цілі коріння квадратного тричлена. Так, знаходячи корені квадратного рівняння ''x''2 - 5''x'' + 6 = 0, можна почати з того, щоб спробувати розкласти вільний член (число 6) на два множника так, щоб їх сума дорівнювала б числу 5. Це розкладання очевидно: 6 = 2 * 3, 2 + 3 = 5. Звідси повинно випливати, що числа 2 і 3 є шуканими корінням.

''Обернена Теорема Вієта.'' 

Якщо числа ''x''1 і ''x''2 задовольняють співвідношенням ''x''1 + ''x''2 = - p і ''x''1 ''x''2 = q, то вони задовольняють квадратне рівняння x2 + px + q = 0.

Теорема Вієта застосовується для підбору коренів квадратних рівнянь. Можна розширити рамки використання цієї теореми, наприклад, для вирішення систем рівнянь. Це скорочує час і спрощує вирішення системи.

Розглянемо систему рівнянь x + y = 5xy = 6 Якщо припустити, що x і y - коріння деякого наведеного квадратного рівняння, сума коренів якого дорівнює 5, а їх добуток дорівнює 6, то отримаємо сукупність двох систем x = 3y = 2 і x = 2y = 3.

Співвідношення між корінням і коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0.

x21 + x22 = (x1 + x2) 2-2x1x2x21 + x22 = p2-2q;
x31 + x32 = (x1 + x2) ((x1 + x2) 2-3x1x2) x31 + x32 =- p (p2-3q)

== Геометричні фігури і величини ==

''Найпростіші''

На рисунках, поданих нижче, наведені деякі основні геометричні фігури;

Відрізок AB (або BA). 

[[Файл:Vidrizokimage_74_fmt2.jpeg‎ ]]

Промінь AB.

[[Файл:Prominimage_4_fmt2.jpeg‎ ]]

Промінь BA. 

[[Файл:Prom2image_44_fmt2.jpeg‎ ]]

Пряма AB (або a).

[[Файл:Prjama3image_5_fmt2.jpeg‎]]

Ламана ABСDЕ.

[[Файл:Lamanaimage_64_fmt2.jpeg‎]]

Промені AB і АС доповняльні.

[[Файл:AB_i_AC_image_6_fmt2.jpeg‎ ]] 

Прямі а і b перетинаються

[[Файл:A_i_b_image_45_fmt2.jpeg]]

''Кут''

[[Файл:Kutimage_79_fmt2.jpeg‎]]

Кут AOB. О — вершина кута. Промені OA і OB — сторони кута.
Величини кутів вимірюють за допомогою транспортира.
Геометричні фігури й величини — розгорнутий.

[[Файл:Прямий_кут_46_fmt2.jpeg]]

Кут, що дорівнює половині розгорнутого, називається прямим.

Один градус — це кут, який становить Геометричні фігури й величини частини прямого кута. Отже, прямий кут становить Геометричні фігури й величини, розгорнутий — Геометричні фігури й величини.
Якщо величина кута менша від Геометричні фігури й величини, такий кут називається гострим.
Кут, величина якого більша за Геометричні фігури й величини, але менша від Геометричні фігури й величини, називається тупим.

[[Файл:Image8756image_9_fmt2.jpeg]]

''Трикутник''

[[Файл:Image8756image_11_fmt2.jpeg]]

На рисунку зображений трикутник зі сторонами a, b і c.

— формула периметра трикутника.
Сума всіх кутів довільного трикутника дорівнює 180 градусів.
Кожний трикутник має принаймні два гострих кути.

Види трикутників залежно від величини кутів (див. рисунок):

[[Файл:Image8756image_86_fmt.jpeg]]

а — гострокутний (усі кути гострі); 

б — тупокутний (один кут тупий);

в — прямокутний (один кут прямий).

Види трикутників залежно від співвідношення сторін (див. рисунок):

[[Файл:Image8756image_85_fmt.jpeg‎ ]]

а — різносторонній (усі сторони мають різну довжину); 

б — рівнобедрений (принаймні дві сторони рівні);

в — рівносторонній (усі сторони рівні).


''Многокутник''

[[Файл:Mnogokutnikimage_65_fmt2.jpeg]]

На рисунку ABCDE — п’ятикутник.
A, B, С, D, E — вершини п’ятикутника;
AB, BC, CD, DE, EA — сторони;
AC, AD, BE, BD, CE — діагоналі.
Окремі види многокутників

Прямокутник:

[[Файл:Prjamokutnikimage_10_fmt2.jpeg]]

Квадрат:

[[Файл:Kvadratimage_47_fmt2.jpeg]]


[[Категорія:Он-лайн енциклопедія]]
[[Категорія:Он-лайн довідники]]
[[Категорія:Довідник математика|Алгебра 7 клас «Лінійні рівняння з однією змінною»]]