Математика.6 клас. Подільність чисел

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Математика 6 клас. Подільність чисел


Дільники і кратні

Дільником натурального числа а називають натуральне число, на яке а ділиться без остачі. Кратним натуральному числу а називається натуральне число, яке ділиться на а без остачі.

Приклади

1) Число 12 має 6 дільників: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

2) Запишемо п’ять перших чисел, кратних числу 7: 7, 14, 21, 28, 35.

Число 1 є дільником будь-якого натурального числа. Число 1 має лише один дільник — 1. Усі інші натуральні числа мають не менше двох дільників: найменший із них — одиниця, найбільший — саме це число.

Кожне натуральне число має безліч кратних, найменшим із яких є саме це число. Щоб одержати всі числа, кратні числу n, треба множити це число послідовно на всі натуральні числа. Нариклад, запишемо всі числа, кратні 9: 9, 18, 27, 36, ... Загальний вигляд числа, кратного 9: 9n, де n — довільне натуральне число. Загальний вигляд числа b, яке при діленні на число а дає остачу r:b=an+r, де n — довільне натуральне число.

Числа, кратні 2, називаються парними, а ті, що на 2 не діляться,— непарними. Ознака подільності на 2. На 2 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою (тобто 0, 2, 4, 6, 8).

Слова «ті й тільки ті» означають, що у даному випадку є правильними такі два твердження.

1. Якщо запис числа закінчується парною цифрою, то це число ділиться на 2.

2. Якщо число ділиться на 2, то його запис закінчується парною цифрою.

Ознака подільності на 10. На 10 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0. (Аналогічні ознаки можна сформулювати для чисел 100, 1000 і т. д.)

Ознака подільності на 5. На 5 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5.

Ознака подільності на 3. На 3 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

Ознака подільності на 9. На 9 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.


Ознака подільності на 4(25). На 4 (25) діляться ті й тільки ті натуральні числа, двома останніми цифрами яких записано число, що ділиться на 4 (25). Запис a b означає, що а кратне b.

Приклади:

1) 2739010:10, тому що остання цифра числа — 0; 3 256 041 не кратне 10 (остання цифра 1).

2) 410656:5;5370:5; 19 372 не кратне 5.

3) 624531:3, тому що сума цифр 6 + 2 + 4 + 5 + 3 +1 = 21, 21:3; 624 532 не кратне 3, тому що сума цифр — число 22 — не кратне 3.

4) 10872315:9, тому що сума цифр 1 + 0 + 8 + 7 + 2 + 3 + 1 + 5 = 27, 27:9;

5) 342792384:4, тому що 84:4;

Прості й складені числа

Натуральне число називається простим, якщо воно має тільки два різних дільники: одиницю й саме це число.

Число, яке має більше двох дільників, називається складеним. Число 1 має єдиний дільник — 1, тому не належить ні до простих, ні до складених чисел.

Приклади

1) Числа 2, 3, 11, 97 — прості. 2) Числа 4, 26, 81 — складені, тому що мають дільники крім 1 і самих себе:4:2;26:13.

Усі прості числа, за винятком числа 2, непарні.

Простих чисел існує безліч. Найменше з них — 2, а найбільшого не існує. Досі не встановлена закономірність розташування простих чисел у натуральному ряді чисел.

Щоб визначити, чи є натуральне число а простим, треба спробувати знайти хоча б один його дільник, крім 1 і а, за допомогою ознак подільності. Якщо це не вдалося, треба шукати дільники а, поділяючи його на всі такі прості числа b, які відповідають умові.

Наприклад, розглянемо число 37. Воно не є кратним 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.

Прості числа b, такі що ,— 2, 3, 5.

На ці числа 37 не ділиться, 37 — просте число.

Розкладання числа на прості множники

Розкласти число на прості множники означає записати його у вигляді добутку простих чисел.

Кожне складене число можна розкласти на прості множники єдиним способом (якщо не враховувати порядок множників). Розкладання зручно робити за такою схемою. Наприклад, візьмемо число 2100. Запишемо число 2100 і праворуч проведемо вертикальну риску. Найменше просте число 2.

Користуючись ознакою подільності на 2, встановлюємо, що 2100:2. Пишемо праворуч 2, а під числом 2100 — частку від ділення його на 2, тобто 1050.

Знову перевіряємо, чи кратне 1050 числу 2. Отримуємо тим же чином праворуч від риски ще одну «2», а ліворуч — число 525. Число 525 не є кратним 2. Беремо наступне просте число — 3 (можна користуватися таблицею простих чисел).

Продовжуючи роботу за наданою схемою, отримуємо наведений вище запис.

Таким чином, 2100=2∙2∙3∙5∙5∙7

Найбільший спільний дільник (НСД)

Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з чисел a і b, називається найбільшим спільним дільником чисел a і b і позначається НСД (a; b).

НСД можна шукати для будь-якої кількості чисел. Для знаходження найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел треба розкласти ці числа на прості множники й знайти добуток спільних множників.

Наприклад: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3.

НСД (12;18)=2∙3=6

Якщо розкладання на прості множники записане з використанням степенів, треба знайти добуток степенів з однаковими основами з показниками, які є найменшими з використаних для запису чисел.

Наприклад: 2100=2∙2∙5∙5∙7; 280=2∙2∙5∙7.

НСД (2100;280)=2∙2∙5∙7.

Якщо всі дані числа кратні одному з них, це число буде найбільшим спільним дільником даних чисел. Наприклад:НСД (12;48;6;24)=6.

Два натуральних числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1, називаються взаємно простими. Два прості числа завжди будуть взаємно простими (наприклад, 13 і 23). Степені різних простих чисел ¬також є взаємно простими.

Наприклад: 49=7∙7; 27=3∙3∙3.

НСД (49;27)=1

Найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним натуральних чисел a і b називається найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з цих чисел. НСК можна шукати для будь-якої кількості чисел. Щоб знайти найменше спільне кратне кількох чисел, кожне з них розкладають на прості множники й помножують усі множники, які зустрічаються хоча б в одному розкладанні.

Приклад

24=2∙2∙2∙3; 36=2∙2∙3∙3.

НСК (24;36)=2∙2∙2∙3∙3=72

Якщо розкладання на прості множники записане з використанням степенів, треба знайти добуток найбільших степенів усіх чисел, що зустрічаються в розкладаннях.

Приклад

18=2∙3∙3; 24=2∙2∙2∙3.

НСК (18;24;54)=2∙2∙2∙3∙3∙3=216.

Якщо одне з даних чисел кратне іншим, то воно є найменшим спільним кратним цих чисел. Наприклад, НСК(24;12;8;3)=24. Найменшим спільним кратним взаємно простих чисел (зокрема простих чисел) є їх добуток.

Наприклад: НСК(11;17)=187, НСК (25;12)=300.