Геометрія. 9клас. Розв'язування трикутників

Зміст

1 Синус
2 Косинус
3 Тангенс
4 Котангенс
5 Основні тригонометричні тотожності
6 Теорема косинусів
7 Наслідок з теореми косинусів
8 Теорема синусів
9 Розвязування трикутників
10 Застосування розв'язування трикутників у прикладних задачах
11 Джерела інформації
12 Дивитися також

Синус

Розглянемо прямокутний трикутник ABC

Синусом кута називається відношення протилежного катета до гіпотенузи sinα=b/c

Синуси окремих кутів:

sin (0°) = 0

sin (30°) = sin (π/6) = 1/2

sin (45°) = sin (π/4) = (√2)/2 = 1/√2

sin (60°) = sin (π/3) = (√3)/2

sin (90°) = sin (π/2) = 1

sin (180°) = sin (π) = 0

sin (270°) = sin (3π/2) = –1

Косинус

Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи cosα=a/c

косинуси окремих кутів

cos (0°) = 1

cos (30°) = cos (π/6) = (√3)/2

cos (45°) = cos (π/4) = (√2)/2 = 1/√2

cos (60°) = cos (π/3) = 1/2

cos (90°) = cos (π/2) = 0

cos (180°) = cos (π) = 1

cos (270°) = cos (3π/2) = 0

Тангенс

Тангенсом кута називається відношення протилежного катета до прилеглого tgα=b/a

(tgα=sinα/cosα) tg (0°) = 0

tg (30°) = tg (π/6) = (1/√3)

tg (45°) = tg (π/4) = 1

tg (60°) = tg (π/3) = √3

tg (90°) = tg (π/2) = 0

tg (180°) = tg (π) = 0

tg (270°) = tg (3π/2) - не існує

Котангенс

Котангенсом кута називається відношення прилеглого кута до протилежного ctgα=a/b

(ctgα=cosα/sinα)

ctg (0°) = 0

ctg (30°) = ctg (π/6) = √3

ctg (45°) = ctg (π/4) = 1

ctg (60°) = ctg (π/3) = 1/√3

ctg (90°) = ctg (π/2) = 0

ctg (180°) = ctg (π) = не існує

ctg (270°) = ctg (3π/2) = 0

Основні тригонометричні тотожності

Формули зведення

Теорема косинусів

У будь-якому трикутнику всі три його сторони і кут між двома з них мають властивість, яка виражається в теоремі косинусів:

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Наслідок з теореми косинусів

З теореми косинусів випливає, що квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін плюс мінус подвоєний добуток однієї зі сторін на проекції другої сторони. Якщо протилежний кут гострий, то беремо знак мінус, якщо протилежний кут тупий, беремо знак плюс.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим.

З теореми косинусів випливає формула косинуса будь-якого кута трикутника:

Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

За допомогою теореми косинусів можна довести теорему про діагоналі паралелограма:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох суміжних його сторін.

Теорема синусів

Співвідношення між сторонами і протилежними до них кутами будь-якого трикутника виражається в теоремі синусів:

Сторони будь-якого трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Якщо в трикутнику три сторони позначити як a, b, c , і протилежні їм кути відповідно α, β, γ, то справедливим є співвідношення:

Якщо трикутник є вписаним в коло з радіусом R, то відношення сторін трикутника до синусів протилежних їм кутів дорівнює двом радіусам описаного кола (тобто дорівнює діаметру описаного навколо трикутника кола)

З теореми синусів випливає, що в трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки, проти більшого кута лежить більша сторона.

Розвязування трикутників

Розв’язування трикутників полягає у знаходженні невідомих сторін і кутів трикутника за відомими його сторонами та кутами. Результати в таких задачах наближені, тому що для більшості значень кутів наближеними є значення їх синуса і косинуса.

Пиклади задач на [1]http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/53.html

Застосування розв'язування трикутників у прикладних задачах

№1

На будівництві залізниці потрібно на ділянці АВ прокласти тунель. За даними на малюнку поясніть, як знайти довжину і напрям тунелю. Обчисліть довжину тунелю.

№2

Знайдіть відстань від точки А до недоступної точки , якщо АС=50м, кут САВ=80 , кут АСВ=72

№3

Футбольний м’яч знаходиться в точці А футбольного поля на відстані 4,5 метрів і 9,4 метрів від основ В і С стійок воріт. Футболіст направляє м’яч у ворота. Знайдіть кут влучення м’яча у ворота, якщо ширина воріт 7 метрів.