Геометрія.11 клас. Многогранники.

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук



                                                       Многогранники


Двогранний і лінійний кути

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, — ребром двогранного кута. Півплощини називаються гранями двогранного кута.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих. Кут, утворений такими півпрямими, називається лінійним кутом двогранного кута (див. рисунок). За міру двогранного кута приймається міра його лінійного кута. 
                                         Image8756image 101 fmt.jpeg
Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.
Побудувати лінійний кут двогранного кута можна двома способами.
1. Обрати точку на ребрі кута й провести через цю точку перпендикуляри до ребра, що лежать у гранях кута (див. рисунок нижче зліва). Кут між цими перпендикулярами — лінійний кут даного двогранного кута.
2. Обрати точку на грані двогранного кута й опустити з неї перпендикуляри на ребро кута та на іншу грань двогранного кута (див. рисунок нижче справа). З’єднати основи цих перпендикулярів. Кут між цим відрізком і перпендикуляром, проведеним до ребра двогранного кута, буде лінійним кутом даного двогранного кута.
                                         Image8756image 219 fmt.jpeg 


Тригранний і многогранний кути

Нехай промені a, b, c виходять з однієї точки й не лежать в одній площині.
Тригранним кутом (авс) називається фігура, яка складається з трьох плоских кутів (ав),(вс),(ас) (див. рисунок). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони — ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута. Аналогічно дають означення многогранного кута.
                                        Image8756image 102 fmt.jpeg
Теорема 1. У тригранному куті кожний плоский кут менший за суму двох інших.
Теорема 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за Sprav-ukr4888 fmt.jpeg.


Многогранники

Многогранник — це таке тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Спільна частина такої площини й поверхні опуклого многокутника називається гранню.
На рисунку нижче зліва зображений неопуклий многогранник; на рисунку справа — опуклий.


                                        Image8756image 180 fmt.jpeg
Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сторони граней називаються ребрами многогранника, а вершини граней — вершинами многогранника.


Призма

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників (див. рисунок). Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини, — бічними ребрами призми.
                                       Image8756image 103 fmt.jpeg
Позначення: Sprav-ukr4895 fmt.jpeg.
Бічна поверхня призми складається з паралелограмів. Кожний із них має дві сторони, які є відповідними сторонами основи, а дві інші — суміжними бічними ребрами. Основи призми рівні й лежать у паралельних площинах. Бічні ребра призми паралельні та рівні. Висотою призми називається відстань між площинами її основ.
Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми. (На рисунку Sprav-ukr4896 fmt.jpeg — висота, Sprav-ukr4897 fmt.jpeg і Sprav-ukr4898 fmt.jpeg — діагоналі.)

Діагональні перерізи — це перерізи призми площинами, що проходять через два бічних ребра, які не належать одній грані (див. рисунки).

                                       Image8756image 248 fmt.jpeg
Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. У протилежному випадку призма називається похилою.
Бічні грані прямої призми — прямокутники, висота прямої призми дорівнює бічному ребру, діагональні перерізи є прямокут­никами.

Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні й площ основ.

Теорема 1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи та висоти, тобто довжини бічного ребра.

Перпендикулярним перерізом призми будемо називати переріз площиною, перпендикулярною до бічного ребра призми (а це означає, що ця площина є перпендикулярною до всіх бічних ребер призми).

Теорема 2. Бічна поверхня похилої призми дорівнює добутку довжини бічного ребра і периметра перпендикулярного перерізу.
На рисунку Sprav-ukr4899 fmt.jpeg — перпендикулярний переріз.

Sб = H ? Pосн; Sп = Sб + 2Sосн. Sб = l ? Pпер; Sп = Sб + 2Sосн.

                                    Image8756image 104 fmt.jpeg
Очевидно, що ця теорема є правильною й у випадку прямої призми, бо тоді перпендикулярний переріз буде перерізом площиною, паралельною площинам основ призми.
Зверніть увагу: якщо деякий многокутник є перпендикулярним перерізом призми, то його внутрішні кути є лінійними кутами двогранних кутів між відповідними бічними гранями.
У випадку прямої призми лінійними кутами двогранних кутів між бічними гранями є безпосередньо кути основи.

Приклад

На рисунку Sprav-ukr4904 fmt.jpeg — пряма призма.
                                   Image8756image 181 fmt.jpeg
Sprav-ukr4909 fmt.jpeg — лінійний кут двогранного кута між гранями Sprav-ukr4910 fmt.jpeg і Sprav-ukr4911 fmt.jpeg .
Призма називається правильною, якщо:
• в основі її лежить правильний многокутник;
• призма є прямою.


Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм.
Усі грані паралелепіпеда — паралелограми.
Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.
                                    Image8756image 105 fmt.jpeg
Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними.
Паралелепіпед залишається паралелепіпедом у всіх випадках, коли за його основу вважаємо довільну його грань (див. рисунок).
Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.
Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.
Зверніть увагу: у прямого паралелепіпеда є чотири діагоналі, які попарно дорівнюють одна одній.

На рисунку Sprav-ukr4916 fmt.jpeg; Sprav-ukr4917 fmt.jpeg
Це випливає з властивостей похилих, оскільки Sprav-ukr4918 fmt.jpeg — рівні перпендикуляри до площини основи ABCD.


                                    Image8756image 220 fmt.jpeg
Якщо дві діагоналі прямого паралелепіпеда виходять із сусідніх вершин, то більша з них та, яка проектується у більшу діагональ основи, тобто таку діагональ паралелограма, яка лежить проти тупого кута. Отже, якщо на наведеному вище рисунку вважати кут ABC тупим, отримаємо Sprav-ukr4919 fmt.jpeg,Sprav-ukr4920 fmt.jpeg.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом (див. рисунок).

                                    Image8756image 106 fmt.jpeg
Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зображення прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображеня будь-якого прямого паралелепіпеда.
Довжини непаралельних ребер називаються лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда.
Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. 
Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими.
Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (див. рисунки).
                                      Image8756image 182 fmt.jpeg



Джерела інформації

http://shkolnik.in.ua/index.php?option=com_content&view=article&id=255&Itemid=310