Алгебра. 7 клас. Лінійні рівняння з однією змінною

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Алгебра 7 клас «Лінійні рівняння з однією змінною»


Рівняння і його корені

Рівняння - це рівність, що містить змінну. Корінь рівняння - число, яке задовольняє рівняння. Розвязати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожний розв'язок одного є розв'язком другого і навпаки.

Рівняння, які не мають коренів, теж вважаються рівносильними.

Розв’язати рівняння 3(х-1)+6=15.

3х-3+6=15; Розкриємо дужки. 3х=15+3-6; Перенесемо доданки і змінимо їхні знаки на 3х=12; протилежні, зведемо подібні доданки. х=4. Поділимо обидві частини рівняння на 3.

Відповідь: 4.

Лінійне рівняння з однією змінною

Рівняння вигляду ах = b, де а і b — дані числа, х — змінна, називається лінійним рівнянням.

Наприклад, 2х = - 5. Числа а і b називаються коефіцієнтами рівняння. Якщо а ≠0, то рівняння ах = b називається рівнянням першого степеня з однією змінною. Його корінь х = b/a. Лінійне рівняння може мати один корінь, безліч коренів або взагалі не мати коренів.

Наприклад, рівняння 0х =7 не має коренів, рівняння 0x=0 має безліч коренів, рівняння 5х = 0 має один корінь.

Рівняння як математична модель задачі

Для того щоб скласти математичну модель задачі, потрібно спочатку вибрати основне невідоме, а потім, поетапно аналізуючи умову задачі, скласти відповідні рівняння. Само по собі рівняння, складене за умовою задачі, не є повною математичною моделлю реальної ситуації, відображеної в умові. Воно не враховує фізичних властивостей предметів і явищ, про які йдеться в задачі, реальних співвідношень між допустимими значеннями відповідних фізичних величин. Тому розв'язки рівняння можуть не відповідати дійсності, і треба обов'язково перевірити, чи задовольняють корені рівняння умову задачі, чи враховують змістові обмеження для зна¬чень величин, що розглядаються.

Отже, відповідь, яку дістали за складеним рівнянням, необхідно перевірити за змістом задачі.

Чи задовольняє знайдений розв'язок саме умову, а не рівняння, складене за умовою задачі, адже можна неправильно скласти рівняння, а розв'язати його правильно.

Корисно з метою перевірки скласти й розв'язати задачу, в якій шукане число беруть за дане, а одне з даних — за шукане.

Схема розв’язування задач :

1) вибирають деяку невідому величину і позначають її буквою (наприклад, x) ;

2) інші невідомі величини (якщо вони є) виражають через введену букву;

3) за умовою задачі встановлюють відношення між невідомими та відомими значеннями величин і складають рівняння;

4) розв’язують складене рівняння;

5) знаходять значення невідомого, а якщо треба за умовою задачі, то й значення інших невідомих величин;

6) відповідають на запитання задачі.

Квадратні рівняння.

Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax2+bx+c=0, де x - змінна, а a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .

Якщо коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним (неповне квадратне рівняння - pure quadratic). Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

1) ax2=0; 2) ax2=bx=0; 3) ax2+c=0.

Рівняння ax2=0 має один корінь x=0. Рівняння виду ax2=bx=0 рівносильне рівнянню x(ax+b)=0 і завжди має два корені: x=0 i x=-b/a. Квадратне рівняння виду ax2+c=0 рівносильне рівнянню x2=-c/a.

Приклад: Знайти корені рівняння 2x2-18=0. Розв'язання 2x2-18=0; 2x2=18; x2=9; x12=±3 x1=3, x2=-3; Відповідь: x1=3, x2=-3.

Дискримінантом (дискримінант - discriminant) рівняння ax2+bx+c=0 називають вираз D=b2-4ac.

Якщо D>0 рівняння ax2+bx+c=0 має два розв'язки, які знаходяться за формулами

Якщо D=0 рівняння ax2+bx+c=0 має один розв'язок, який знаходиться за формулою

Якщо D<0 рівняння ax2+bx+c=0 не має жодного розв'язку.

Приклад: Знайти корені рівняння x2+4x-21=0.

Розв'язання

D=42-4•1•(-21)=16+84=100>0. x1=3, x2=-7. Відповідь: x1=3, x2=-7.

Теорема Вієта

Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного тричлена x2 + px + q = 0 дорівнює його другому коефіцієнту p з протилежним знаком, а твір - вільному члену q, тобто x1 + x2 = - p і x1 x2 = q

Теорема Вієта чудова тим, що, не знаючи коренів квадратного тричлена, ми легко можемо обчислити їх суму й добуток, тобто найпростіші симетричні вираження x1 + x2 і x1 x2. Так, ще не знаючи, як обчислити корені рівняння x2 - x - 1 = 0, ми, тим не менше, можемо сказати, що їх сума повинна дорівнювати 1, а добуток має дорівнювати -1. Теорема Вієта дозволяє вгадувати цілі коріння квадратного тричлена. Так, знаходячи корені квадратного рівняння x2 - 5x + 6 = 0, можна почати з того, щоб спробувати розкласти вільний член (число 6) на два множника так, щоб їх сума дорівнювала б числу 5. Це розкладання очевидно: 6 = 2 * 3, 2 ​​+ 3 = 5. Звідси повинно випливати, що числа 2 і 3 є шуканими корінням.

Обернена Теорема Вієта.

Якщо числа x1 і x2 задовольняють співвідношенням x1 + x2 = - p і x1 x2 = q, то вони задовольняють квадратне рівняння x2 + px + q = 0.

Теорема Вієта застосовується для підбору коренів квадратних рівнянь. Можна розширити рамки використання цієї теореми, наприклад, для вирішення систем рівнянь. Це скорочує час і спрощує вирішення системи.

Розглянемо систему рівнянь x + y = 5xy = 6 Якщо припустити, що x і y - коріння деякого наведеного квадратного рівняння, сума коренів якого дорівнює 5, а їх добуток дорівнює 6, то отримаємо сукупність двох систем x = 3y = 2 і x = 2y = 3.

Співвідношення між корінням і коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0.

x21 + x22 = (x1 + x2) 2-2x1x2x21 + x22 = p2-2q; x31 + x32 = (x1 + x2) ((x1 + x2) 2-3x1x2) x31 + x32 =- p (p2-3q)

Геометричні фігури і величини

Найпростіші

На рисунках, поданих нижче, наведені деякі основні геометричні фігури;

Відрізок AB (або BA).

Vidrizokimage 74 fmt2.jpeg

Промінь AB.

Prominimage 4 fmt2.jpeg

Промінь BA.

Prom2image 44 fmt2.jpeg

Пряма AB (або a).

Prjama3image 5 fmt2.jpeg

Ламана ABСDЕ.

Lamanaimage 64 fmt2.jpeg

Промені AB і АС доповняльні.

AB i AC image 6 fmt2.jpeg

Прямі а і b перетинаються

A i b image 45 fmt2.jpeg

Кут

Kutimage 79 fmt2.jpeg

Кут AOB. О — вершина кута. Промені OA і OB — сторони кута. Величини кутів вимірюють за допомогою транспортира. Геометричні фігури й величини — розгорнутий.

Прямий кут 46 fmt2.jpeg

Кут, що дорівнює половині розгорнутого, називається прямим.

Один градус — це кут, який становить Геометричні фігури й величини частини прямого кута. Отже, прямий кут становить Геометричні фігури й величини, розгорнутий — Геометричні фігури й величини. Якщо величина кута менша від Геометричні фігури й величини, такий кут називається гострим. Кут, величина якого більша за Геометричні фігури й величини, але менша від Геометричні фігури й величини, називається тупим.

Image8756image 9 fmt2.jpeg

Трикутник

Image8756image 11 fmt2.jpeg

На рисунку зображений трикутник зі сто­ронами a, b і c.

— формула периметра трикутника. Сума всіх кутів довіль­ного трикутника до­рів­нює 180 градусів. Кожний трикутник має принаймні два ­гострих кути.

Види трикутників залежно від величини кутів (див. рисунок):

Image8756image 86 fmt.jpeg

а — гострокутний (усі кути гострі);

б — тупокутний (один кут тупий);

в — прямокутний (один кут прямий).

Види трикутників залежно від співвідношення сторін (див. рисунок):

Image8756image 85 fmt.jpeg

а — різносторонній (усі сторони мають різну довжину);

б — рівнобедрений (принаймні дві сторони рівні);

в — рівносторонній (усі сторони рівні). 

Многокутник

Mnogokutnikimage 65 fmt2.jpeg

На рисунку ABCDE — п’ятикутник. A, B, С, D, E — вершини п’ятикутника; AB, BC, CD, DE, EA — сторони; AC, AD, BE, BD, CE — діагоналі. Окремі види многокутників

Прямокутник:

Prjamokutnikimage 10 fmt2.jpeg

Квадрат:

Kvadratimage 47 fmt2.jpeg